1. Formulación del problema:

Sea ƒ: ℜⁿ → ℜ

Un problema de optimización sin restricciones (optimos libres) se formula:

Ejemplo y representación gráfica

1) n = 1 (función real de una variable real)	2) n > 1 (función real de más de una variable real)

2. Resolución de un problema de optimización.
Condición necesaria. Condición suficiente

Se trata de determinar para qué punto o puntos de, la función toma el valor máximo o mínimo.

Primeramente es necesario ver qué puntos satisfacen la condición necesaria (C.N.) La idea es poder descartar todos los puntos que NO satisfacen la condición necesaria como posibles óptimos.

Es decir,

o lo que es equivalente:

Cuando ya hemos determinado el conjunto de puntos que satisfacen la C.N. es necesario ver qué puntos satisfacen la condición suficiente (C.S.), es decir, qué puntos son los verdaderos óptimos.

3. Optimización de una función real de variable real (n=1)

  f continua y derivable en  y

Condición necesaria

óptimo local 

Condición suficiente

Sea un punto que cumple la condición necesaria
 mínimo local
 máximo local

4. Optimización de una función real de más de una variable real (caso general)

ƒ: ℜⁿ → ℜ n ≥1 ƒ con derivadas parciales primeras y segundas continuas y x₀ ∈ ℜⁿ

Condición necesaria

Definición: Se llaman puntos críticos o estacionarios aquellos puntos que anulan el gradiente de la función.

Condición suficiente

Se aplica a los puntos que satisfacen la condición necesaria.

definida positiva mínimo local estricto.

definida negativa  máximo local estricto.

indefinida    punto de silla.

Otros casos:

Para que satisface C.N ( ∇ƒ()=0 ):

 semidefinida positiva mínimo local y global.

 semidefinida negativa máximo local y global.

 semidefinido positivasuficientemente cercana a  mínimo local.

 semidefinido negativa  suficientemente cercana a  máximo local.

NOTA: Es preciso observar que en estos casos se sustituye la información en un sólo punto que se pedía anteriormente, por información sobre la Hessiana en todo un entorno de  o en todo el dominio, y a cambio se permite debilitar el requerimiento de que sea definida y se consiente en que sea sólo semidefinida.