4.3 Estudio de casos
particulares en aproximación
de Fraunhofer
Subsecciones
4.3.1 Onda plana a través
de un objeto rectangular
Para calcular la difracción de Fraunhofer de
un objeto utilizaremos
la siguiente ecuación
. |
(4.31) |
Supongamos que el objeto es iluminado por
una onda plana .
En , la onda plana es A.
Escribiremos la transformada de
Fourier de una función
como , donde son las frecuencias espaciales. Es
necesario recordar que la Transformada de Fourier de una abertura
rectangular
de dimensiones vale
; |
(4.32) |
y, por lo tanto, el campo eléctrico escalar a distancia mucho mayor que o se
escribe
|
(4.33) |
![$\displaystyle = A \frac{e^{ikz}}{i \lambda z} l_x l_y
e^{\frac{ik}{2z}(x^2+y^2)} sinc(\frac{l_x x}{\lambda z}) sinc(\frac{l_y
y}{\lambda z})
\vspace{5 mm}$](img760.gif) ,
|
donde se han sustituido las variables (u,v) por y
. La intensidad grabada
por un detector será el módulo al cuadrado de la expresión
anterior,
. |
(4.34) |
Figura 4.4:
Difracción
de Fraunhofer de un rectángulo cuyo lado vertical es menor que
el horizontal
|
Figura 4.5:
Perfil de la función que describe la intensidad de la difracción de
Fraunhofer de un
rectángulo
|
4.3.2 Onda plana a través
de un objeto circular
La fórmula para calcular la difracción de
Fraunhofer se puede
escribir en coordenadas polares cuando el objeto tiene simetría
circular,
:
. |
(4.35) |
La transformada de Fourier de una función
con simetría circular es
, |
(4.36) |
donde se ha aplicado el cambio , y , . Utilizando
la
igualdad,
![\begin{displaymath}
J_0(a)=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{-ia\cos(\theta-\phi)} d\theta
\vspace{5 mm}
\end{displaymath}](img773.gif) |
(4.37) |
se obtiene que
. |
(4.38) |
Para calcular la difracción de Fraunhofer
cuando una onda plana
atraviesa una
abertura circular
de radio , en , tenemos que calcular la
integral anterior.
(f(r0)=1 entre 0 i R). Aplicando ahora
la
relación
![\begin{displaymath}\frac{R}{a}J_1(aR) = \int_0^R J_0(ar) r\;dr,
\vspace{5 mm}
\end{displaymath}](img1000.gif) |
(4.39) |
se puede demostrar que
; |
(4.40) |
y, por lo tanto, el campo eléctrico escalar
vale
|
(4.41) |
![$\displaystyle A \frac{e^{ikz}}{i \lambda z} R e^{\frac{ik}{2z}(r^2)}
\frac{J_1(...
...-i A R e^{ikz} e^{\frac{ik}{2z}(r^2)} \frac{J_1(\frac{2\pi R r}{\lambda z})}{r}$](img778.gif) ,
|
mientras que la intensidad,
. |
(4.42) |
Se conoce como el radio del disco de Airy
al radio del primero
mínimo de la función anterior. La función se anula
en y, por lo tanto,
. |
(4.43) |
Figura 4.6:Difracción
de Fraunhofer de un círculo
|
Figura 4.7:
Perfil de la función que describe la intensidad de la difracción de
Fraunhofer de un
círculo. El primer cero de la función está en r=1.22
|
4.3.3 Onda plana a través
de una estructura periódica unidimensional
Sea un objeto de transmitancia
repetido periódicamente N veces, con periodo . La función matemática que modeliza este
objeto se escribe
. |
(4.44) |
La transformada de Fourier a escala de la expresión anterior es
; |
(4.45) |
y, por lo tanto, cuando una onda plana atraviesa este objeto, el campo
eléctrico
escalar es
. |
(4.46) |
Los términos de la suma de la ecuación
anterior siguen una
progresión geométrica cuya razón es .
Puesto que se verifica
, |
(4.47) |
entonces
. |
(4.48) |
Puede comprobarse que
; |
(4.49) |
la intensidad se escribe como
. |
(4.50) |
Algunos comentarios adicionales:
Figura 4.8:
Perfil de la función que describe la intensidad de las interferencias
para N=4
|
|