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JOptics Curso de Óptica


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	Para más información: Grupo de Innovación Docente en Óptica Física y Fotónica Departamento de Física Aplicada y Óptica Universitat de Barcelona Martí i Franquès 1 08028 Barcelona Teléfono: 93 402 11 43 Fax: 93 403 92 19 optics at ub.edu

Índice

4.1 Teoría escalar

Subsecciones

4.1.1 Introducción a la Teoría Escalar de la Difracción

Sommerfeld definió la difracción como la propagación no rectilínea de la luz que no se puede interpretar a partir de las leyes de la reflexión y de la refracción. Grimaldi, en el siglo XVII, fue el primero que observó fenómenos difractivos: al hacer pasar un haz de luz a través de una abertura practicada sobre una pantalla observó que, al proyectar el haz sobre otra pantalla, el paso de la zona iluminada a la zona de sombra no era abrupto (como indica la propagación rectilínea). Años después, Fresnel realizó el primer intento serio de explicar los fenómenos de difracción (1818), basándose en unas modificaciones arbitrarias del principio de Huygens. En 1882, Kirchhoff propuso la explicación de los fenómenos de difracción en términos de la teoría escalar. Su teoría tiene inconvenientes formales de orden matemático que fueron solucionados por Sommerfeld en 1894, introduciendo algunas modificaciones en la teoría anterior.

La teoría escalar es suficientemente rigurosa para explicar la mayor parte de los resultados experimentales macroscópicos. Pese a que se trata de una simplificación que no tiene en cuenta el carácter vectorial de los campos electromagnéticos, la teoría escalar funciona con éxito cuando las aberturas son más grandes que la longitud de onda de la luz y cuando las distancias de observación son suficientemente grandes. En estas condiciones, la polarización del campo electromagnético no es una información relevante y, por lo tanto, se puede prescindir del formalismo vectorial.

4.1.2 Ondas escalares. El teorema de Green

Una onda escalar perfectamente monocromática $U(\vec{r},t)= U(\vec{r}) e^{-iwt}$ que se propaga en el vacío, verifica la ecuación de ondas:

$\begin{displaymath} \Delta U(\vec{r},t) = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 U(\vec{r},t)}{\partial t} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(4.1)

En consecuencia, la amplitud compleja (parte espacial) $U(\vec{r})$ verifica la ecuación de Helmholtz:

$\begin{displaymath} \Delta U(\vec{r}) = -k^2 U(\vec{r}) \vspace{5mm} \end{displaymath}$ ,

(4.2)

donde r es el vector de posición, es el número de onda, $w = 2 \pi \nu$ , y $k = 2 \pi/\lambda$ .

La formulación de la teoría escalar de la difracción se basa en el uso del teorema de Green: Sean $U({\vec r})$ y $G({\vec r})$ dos funciones que toman valores complejos, continuas y con primera y segunda derivadas continuas en el interior de un recinto cerrado por la superficie . En estas condiciones se verifica:

$\begin{displaymath} \int_V \left [ G \Delta U - U \Delta G \right ] dv = \int_S ... ...n} - U \frac{\partial G}{\partial n} \right ] ds \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(4.3)

**Figura 4.1:** Teorema de Green. Geometría
$\includegraphics[width=10cm]{patata.eps}$

En el problema que abordaremos, será la parte espacial de la ecuación de ondas, y , una función auxiliar denominada función de Green. La elección de ésta, solamente está condicionada por el propio teorema de Green; no obstante, es necesario escogerla de forma que el problema se pueda abordar con el mínimo de complicaciones matemáticas posible. La notación $\frac{\partial }{\partial n}$ hace referencia a la derivada de o según la dirección normal de la superficie. A partir de ahora, no se tendrá en cuenta la parte temporal de la onda. Sea $P \in V$ , el punto donde haremos la observación del campo. Definimos una posible función de Green como

$\begin{displaymath} G = \frac{e^{ikr}}{r} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(4.4)

En el punto () esta función no está definida. Para evitar la discontinuidad en , se excluye el punto del recinto definiendo una superficie esférica $S_\epsilon$ alrededor de con un radio $\epsilon$ infinitesimal. Así, la nueva superficie de integración será $S' =S+S_\epsilon$ y el nuevo volumen , $V'=V-V_\epsilon$ ; $V_\epsilon$ es el volumen definido por $S_\epsilon$ . La función es una onda esférica de amplitud unidad y, por lo tanto, verifica también la ecuación de Helmholtz: $\Delta G(\vec{r}) = -k^2 G(\vec{r})$ . Aplicando el teorema de Green al nuevo recinto de integración V' obtenemos

$\begin{displaymath} \int_{V'} \left [ G \Delta U - U \Delta G \right ] dv = - \int_{V'}\left [ k^2 G U - k^2 U G \right ] dv = 0 \vspace{5mm} \end{displaymath}$ ;

(4.5)

entoces

$\begin{displaymath} \int_{S'} \left [ G \frac{\partial U}{\partial n} - U \frac{\partial G}{\partial n} \right ] ds =0 \vspace{5mm} \end{displaymath}$ ,

(4.6)

y como $S' =S+S_\epsilon$ , tenemos que

$\begin{displaymath} -\int_{S_\epsilon} \left [ G \frac{\partial U}{\partial n} -... ...l U}{\partial n} - U \frac{\partial G}{\partial n} \right ] ds \end{displaymath}$ .

(4.7)

4.1.3 Teorema integral de Helmholtz-Kirchhoff

La evaluación de la integral definida sobre $S_\epsilon$ es sencilla. Se trata de calcular el límite siguiente,

$\begin{displaymath} \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{S_\epsilon} \left [ G \... ... n} - U \frac{\partial G}{\partial n} \right ] ds \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(4.8)

Al ser $S_\epsilon$ es una superficie esférica, las derivadas normales de la ecuación anterior pasan a ser derivadas en la dirección radial $\epsilon$ . La derivada normal en la superficie $S_\epsilon$ apunta hacia y, por lo tanto, $\frac{\partial }{\partial n}= - \frac{\partial }{\partial \epsilon}$ . Puesto que la función sobre la superficie $S_\epsilon$ se puede escribir como $exp(ik\epsilon)/\epsilon$ , la derivada es

$\begin{displaymath} \frac{\partial G}{\partial n} = \left[ \frac{1}{\epsilon} - ik\right]\frac{e^{ik\epsilon}}{\epsilon} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(4.9)

El diferencial de superficie es $ds = \epsilon^2 d\Omega$ , donde $d\Omega$ es el diferencial de ángulo sólido. Substituyendo en la integral,

$\begin{displaymath} \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{S_\epsilon} \left [ G \f... ...k\epsilon}}{\epsilon} \right ] \epsilon^2 d\Omega \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(4.10)

Las funciones y las derivadas presentes en la integral están acotadas y, por lo tanto, de los tres términos contenidos en ella, únicamente el segundo será diferente de cero. Considerando, además, la continuidad de ,

$\begin{displaymath} \lim_{\epsilon \rightarrow 0} - \int_{S_\epsilon} U \frac{1}... ...= - U(P) \int_{S_\epsilon} d\Omega = - 4 \pi U(P) \vspace{5mm} \end{displaymath}$ ;

(4.11)

la ecuación 4.7 se escribirá

$\begin{displaymath} U(P) = \frac{1}{4 \pi} \int_S \left [ G \frac{\partial U}{\p... ...ial n} \left [\frac{e^{ikr}}{r}\right] \right] ds \vspace{5mm} \end{displaymath}$ ,

(4.12)

resultado que se conoce como el teorema integral de Helmholtz-Kirchhoff.

4.1.4 Aplicación del teorema de Helmholtz-Kirchhoff a la difracción

En esta sección, se aplica el teorema integral de Helmholtz-Kirchhoff al problema de la difracción de una onda escalar a través de una abertura contenida en una superficie plana. Consideramos la superficie que rodea el punto de observación . La tomaremos subdividida en dos secciones : corresponde al plano que contiene la abertura $\Sigma$ y es superficie esférica centrada en y de radio suficientemente grande. Lo primero que debe hacerse es evaluar la integral 4.12 en la superficie . Al estar trabajando con iluminación monocromática, y por lo tanto, de longitud de coherencia infinita, una vez la onda se haya propagado a velocidad hasta , la contribución de la integral sobre puede no ser despreciable. Para aclarar este aspecto, calculamos el límite siguiente,

$\begin{displaymath} U(P) = \lim_{R\rightarrow \infty} \frac{1}{4 \pi} \int_{S_2}... ... n} - U \frac{\partial G}{\partial n} \right ] ds \vspace{5mm} \end{displaymath}$

(4.13)

La derivada en la dirección normal (radial) de sobre vale

$\begin{displaymath} \frac{\partial G}{\partial n} = \left[ \frac{1}{R} - ik\right]\frac{e^{ikr}}{r} \approx ikG \vspace{5mm} \end{displaymath}$

(4.14)

si $r \gg \lambda$ . Por lo tanto, la integral anterior vale

$\begin{displaymath} U(P) = \lim_{r \rightarrow \infty} \frac{1}{4 \pi} \int_{S_2... ...artial U}{\partial n} - ikU \right ] r^2 d\Omega \vspace{5mm} \end{displaymath}$ ,

(4.15)

donde $ds = r^2 d\Omega$ . Esta integral tiende a cero si se verifica

$\begin{displaymath} \lim_{r \rightarrow \infty} \left [ \frac{\partial U}{\partial n} - ikU \right ] = 0 \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(4.16)

Esta condición es cierta si es una onda esférica ( $U=A e ^{ikr}/r$ ). Dado que una onda cualquiera puede ser expresada en términos de una combinación lineal de ondas esféricas, en la práctica, este resultado se verifica siempre. Por lo tanto, la contribución a de la integral sobre puede ser despreciada.

4.1.4.1 Condiciones de contorno de Kirchhoff

Evaluemos ahora la integral sobre . Para ello, Kirchhoff impuso las siguientes condiciones para poder realizar el cálculo:

El campo y su derivada normal toman los mismos valores en la abertura $\Sigma$ , en presencia o no de la superficie .
Sobre la superficie y fuera de $\Sigma$ , y su derivada normal valen cero. Esta condición permite realizar la integral extendida sólo a la geometría de $\Sigma$ .

**Figura 4.2:** Geometría. Fórmula de Fresnel-Kirchhoff
$\includegraphics[width=12cm]{kirchhoff.eps}$

4.1.4.2 Fórmula de Fresnel-Kirchhoff

Para acabar, consideremos ahora la forma en que se ilumina la abertura. Concentrémonos en el caso en que la abertura está iluminada por una onda esférica que proviene de un punto : $A \frac{e^{ikR}}{R}$ . Las derivadas normales a $\Sigma$ de y valen

$\begin{displaymath} \frac{\partial G}{\partial n} = \cos(\vec{n},\vec{r})(ik - \... ...} \approx ikG \cos(\vec{n},\vec{r}) \qquad \qquad \vspace{5mm} \end{displaymath}$

(4.17)

$\begin{displaymath} \frac{\partial U}{\partial n} \approx ikU \cos(\vec{n},\vec{R}) \vspace{5mm} \end{displaymath}$ ,

(4.18)

donde $\cos(\vec{n},\vec{r})$ y $\cos(\vec{n},\vec{R})$ son los cosenos de los ángulos formados por el vector normal a $\Sigma$ y los vectores posición $\vec{r}$ y $\vec{R}$ respectivamente. Por lo tanto la integral de difracción en este caso es

$\begin{displaymath} U(P) = \frac{A}{2i \lambda} \int_{\Sigma} \frac{\exp(ik(r+R)... ...{n},\vec{r}) - \cos(\vec{n},\vec{R}) \right ] ds \vspace{5mm} \end{displaymath}$

(4.19)

conocida como la Fórmula de Fresnel-Kirchhoff. Esta fórmula nos da la expresión del campo escalar difractado a través de una abertura cualquiera iluminada por una onda esférica. Esta fórmula es simétrica respecto la fuente o el punto de observación (teorema de reciprocidad).

4.1.4.3 Consideraciones finales sobre la Fórmula de Fresnel-Kirchhoff

Si la abertura es pequeña frente a las distancias y , los factores $\cos(\vec{n},\vec{r})$ y $\cos(\vec{n},\vec{R})$ son prácticamente constantes. Se denomina factor de oblicuidad a la semidiferencia $(cos(\vec{n},\vec{r}) - \cos(\vec{n},\vec{R}))/2$
Si la onda que ilumina la abertura no es esférica, es posible describir cualquier campo en términos de ondas esféricas, pudiéndose aplicar la fórmula deducida.
Para ángulos pequeños (ie., distancias axiales mucho mayores que las dimensiones de la abertura), el factor de oblicuidad se hace próximo a la unidad, ya que $cos(\vec{n},\vec{r})\approx 1$ y $\cos(\vec{n},\vec{R}) \approx -1$ .
La expresión 4.19 se ha deducido utilizando una onda esférica $\frac{A\exp(ikR)}{R}$ para iluminar la abertura. Si la fuente de luz está en el infinito, la abertura se ilumina con una onda plana:

$\begin{displaymath} U(P) = \frac{1}{2i \lambda} \int_{\Sigma} A \frac{\exp(ikr))}{r} ds \vspace{5mm} \end{displaymath}$ (4.20)
Si el sistema se ilumina con una onda cualquiera, cuya amplitud compleja en el plano de la abertura $\Sigma$ es $U(\Sigma)$ , la expresión puede generalizarse a

$\begin{displaymath} U(P) = \frac{1}{2i \lambda} \int_{\Sigma} U(\Sigma) \frac{\exp(ikr))}{r} ds \vspace{5mm} \end{displaymath}$ (4.21)

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