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Consideremos el siguiente problema: sea una lámina dieléctrica planoparalela de grosor

. El índice de refracción del material es

y el medio externo a la lámina tiene un índice

. Sobre esta lámina incide una onda electromagnética plana polarizada linealmente y de amplitud

, con la dirección de propagación que forma una ángulo $\epsilon$ con la dirección normal a las caras de la lámina. Al llegar a la primera cara de la lámina, parte de la luz se refleja y parte se transmite. Las amplitudes transmitida y reflejada vienen dadas por

, donde $t=t(n,n' ,\epsilon)$ y $r=r(n, n',\epsilon)$ son los coeficientes de transmisión calculados a partir de las fórmulas de Fresnel. La luz que se transmite viaja por el medio dieléctrico hasta que se encuentra de nuevo con la superficie de separación de medios. Parte de la luz se refleja internamente y parte se transmite al medio exterior. La luz que se refleja internamente genera, a su vez, nuevos términos que se transmiten y reflejan. La figura 3.8 muestra los diferentes rayos y los valores de la amplitud. El coeficiente de reflexión calculado, cuando la reflexión se produce desde un medio de índice

sobre un material de índice

o al revés, tiene el mismo valor en módulo, $\vert r\vert=\vert r'\vert$ . Esto no es válido para la transmisión, puesto que $t\neq t'$ (recuérdese que aquí se verifica

**Figura 3.8:** Haz de ondas emergiendo de una lámina dieléctrica
$\includegraphics[width=14cm]{Intonmul.eps}$

El paso siguiente en el estudio de este problema consiste en sumar todas las contribuciones de los rayos que emergen o bien de la primera cara (luz reflejada) o bien de la segunda (luz transmitida). Todos los rayos salen paralelos y, por lo tanto, mediante una lente convergente podemos concentrar todas las contribuciones en un punto del plano focal de la lente. Para poder realizar la suma es necesario conocer el desfase entre ellas y escribir así los términos de la serie. Recordemos que el desfase $\delta$ es proporcional a la diferencia de camino óptico $\Delta$ , $\delta=\frac{2\pi}{\lambda} \Delta$ . Nos podemos fijar en la figura 3.9.

**Figura 3.9:** Cálculo del camino óptico
$\includegraphics[width=12cm]{Difcamop.eps}$

El camino óptico del rayo que viaja por el interior de la lámina pasa por los puntos

. Por lo tanto, la diferencia de camino óptico entre la onda que pasa por el interior de la lámina y la que se refleja directamente es:

$\begin{displaymath} \Delta = (I_1I_1' + I_1'I_2) - I_1E = 2 d \cos(\epsilon') \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(3.13)

Es importante observar que se resta la cantidad

: como se trabaja con ondas planas, a partir del plano definido por los puntos

, el camino óptico será idéntico. Finalmente, el desfase es

$\begin{displaymath} \delta = \frac{4 \pi}{\lambda} d \cos(\epsilon ') \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(3.14)

Consideremos ahora todas las contribuciones que se han transmitido a través de la lámina. Los campos se escriben:

$\delta_0$ hace referencia a una cierta fase constante inicial en relación al origen de coordenadas. Las diferentes contribuciones se pueden sumar con facilidad puesto que se trata de una serie geométrica de razón $r^2 e^{i\delta}$ . El campo total transmitido será:

$\begin{displaymath} E_T = \sum_i E_i = E_1 \frac{1}{1-r^2 e^{i\delta}} = att' ... ...c s} + \delta_0)) \frac{1}{1-r^2 e^{i\delta}} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(3.15)

$\begin{displaymath} I_T = \frac{c}{4 \pi} E_T E_T^* =\frac{c}{4 \pi} \left \vert att'\frac{1}{1-r^2 e^{i\delta}} \right \vert^2 \vspace{5mm} \end{displaymath}$

(3.16)

$\begin{displaymath} I_T = \frac{c}{4 \pi} \frac{a^2}{1+\frac{4r^2}{(1-r^2)^2}\sin^2(\delta/2)} \vspace{5mm} \end{displaymath}$

(3.17)

Por lo que hace referencia a la luz que se refleja en la lámina, no es necesario repetir todo el cálculo. Se debe tener en cuenta que la intensidad total de la luz incidente vale $(c/4\pi) a^2$ y, por lo tanto

$\begin{displaymath} I_R =\frac{c}{4 \pi} a^2 - I_T = \frac{c}{4 \pi} \frac{a^2 ... ...a/2)}{\frac{(1-r^2)^2}{4r^2}+\sin^2(\delta/2)} \vspace{5mm} \end{displaymath}$

(3.18)

Las expresiones de la intensidad transmitida y reflejada presentan máximos y mínimos cuando se verifican las condiciones descritas en la tabla siguiente:

Caso	Extremo	Desfase	Valoro del extremo
Luz transmitida	Máximo	$\delta = 2 \pi m$ , entero
Luz transmitida	Mínimo	$\delta = (2m+1) \pi$ , entero	$\frac{a^2}{1+\frac{4r^2}{(1-r^2)^2}}$
Luz reflejada	Máximo	$\delta = (2m+1) \pi$ , entero	$\frac{a^2}{1+\frac{(1-r^2)^2}{4r^2}}$
Luz reflejada	Mínimo	$\delta = 2 \pi m$ , entero	0

Antes de continuar es necesario hacer algunos comentarios sobro como se ha hecho la deducción de la ecuación de la intensidad en función del desfase:

En la figura 3.10, podemos ver la dependencia de la intensidad transmitida y reflejada en función de $\delta=2 d \cos(\epsilon')$ .

**Figura 3.10:** Intensidad en función del desfase
$\includegraphics[width=\textwidth]{11_3.eps}$

La figura 3.11 muestra un espectro real de transmisión: se trata de un experimento en el cual la incidencia es normal, $\cos(\epsilon')=1$ . En este caso, una lámina dieléctrica es iluminada en el rango de longitudes de onda del visible y se analiza la transmitancia de la misma, es decir, representamos $I(\lambda)$ (en este caso, $n'= n'(\lambda)$ ,

son constantes).

$\begin{displaymath} I_T(\lambda) \propto \frac{1}{1+\frac{4r^2}{(1-r^2)^2} \sin^2(\frac{2\pi n(\lambda) d}{\lambda})} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(3.19)

En este ejemplo tenemos un dieléctrico real (la conductividad no es nula). Por lo tanto, no todos los máximos tienen la misma altura.

**Figura 3.11:** Espectro real de transmisión de una lámina dieléctrica
$\includegraphics[width=\textwidth]{intereal.ps}$

Los recubrimientos antirreflejantes se utilizan para conseguir que la mayor parte de la luz incidente se transmita y no se pierda por reflexión. Por ejemplo, en caso de incidencia normal en una interfase aire-vidrio, el 4% de la energía se refleja. Así, en un sistema óptico formado por muchas lentes, las pérdidas de luz acumuladas pueden hacer que el sistema sea inviable. En esta sección demostraremos que al recubrir el vidrio de una lámina delgada de material dieléctrico y grosor apropiado, la energía que vuelve al primer medio por reflexión se hace cero. Consideremos un sistema como el que muestra la figura 3.12. Se trata de un material transparente, de índice de refracción

, sobre el que se ha depositado un dieléctrico de grosor

e índice

. Además, impondremos la condición

. Consideremos que la luz incide sobre el sistema con un ángulo muy próximo a cero, $\epsilon \approx 0$ . La amplitud inicial de la onda es

, y los coeficientes de reflexión y transmisión en las interfases se encuentran indicados a la figura 3.12.

**Figura 3.12:** Lámina antirreflejante
$\includegraphics[width=14cm]{Lamines.eps}$

En las reflexiones en las que el índice del primero medio es menor que el segundo, debe añadirse $+\pi$ a la fase de la onda. Según esto, todos los rayos reflejados, incluyendo el que se refleja directamente desde el aire sobre el medio de índice

, incorporan un factor $+\pi$ a su fase. La luz reflejada será la suma de todas las contribuciones que vuelven al primer medio. Puesto que se desea que la luz no se refleje, la suma de todas estas contribuciones tiene que ser cero. Escribiendo los diferentes términos, igual que lo hicimos a la ecuación 3.15,

donde $\delta_0$ hace referencia a una cierta fase constante inicial en relación al origen de coordenadas y $\delta=\frac{4\pi}{\lambda}nd$ es la diferencia de fase, tal y como se ha visto a la ecuación 3.14. Si se impone que todas los términos salgan en fase entre sí a partir del segundo rayo, se debe verificar que

$\begin{displaymath} \frac{4 \pi}{\lambda} n d + \pi = 2m\pi \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(3.20)

lo que nos da una condición para el grosor de la lámina. Si

, el grosor es $d=\lambda/4n$ . Con este grosor se consigue que todas las contribuciones al campo reflejado a partir de la segunda estén en fase y todas ellas en oposición de fase con la primera. Para sumar las diferentes contribuciones basta con comprobar que los términos de la suma siguen una progresión geométrica de razón

$\begin{displaymath} E_R = (-ar + att'r_v(1 + rr_v + r^2 r_v^2 + {\ldots} ))\exp(i(wt - k{\vec r}{\vec s} + \delta_0)) \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(3.21)

$\begin{displaymath} n = \sqrt{n_v} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(3.22)

Según esto, con una lámina de grosor $\lambda/4n$ y un material adecuado es posible diseñar una lámina antirreflejante. Sin embargo, este resultado ha sido deducido en condiciones de incidencia muy cercana a la normal y para una única longitud de onda. Se puede hacer un análisis equivalente y más general utilizando sistemas multicapas con diferentes grosores y materiales. Así, se pueden diseñar recubrimientos antirreflejantes utilizables en una banda del espectro más amplio y para diferentes ángulos de incidencia.

El interferómetro de Fabry-Perot es un dispositivo de gran precisión utilizado en espectroscopía. Su principal ventaja es su elevado poder resolutivo (capacidad de discriminar dos longitudes de onda muy próximas). La física que describe este aparato es muy similar al experimento de interferencias en láminas dieléctricas. El esquema del interferómetro es el de la figura 3.13.

**Figura 3.13:** El interferómetro de Fabry-Perot
$\includegraphics[width=10cm]{fabry_p.eps}$

Se trata de dos soportes de vidrio de caras planoparalelas enfrentados entre si una distancia

(en aire,

) que puede ser ajustable. Las caras internas están tratadas de manera que el factor de reflexión sea próximo a la unidad, para así obtener un buen contraste. Un rayo de luz que llegue al sistema con un ángulo $\epsilon$ respeto a la normal de la cara de vidrio, se refractará en la cara anterior y posterior del vidrio e incidirá también con ángulo $\epsilon$ sobre la primera cara del segundo de vidrio. La luz que salga del sistema por la cara posterior lo hará de nuevo con ángulo $\epsilon$ .

**Figura 3.14:** Sistema interferencial
$\includegraphics[width=\textwidth]{dispinte.eps}$

El interferómetro funciona de la siguiente manera: utilizamos una fuente extensa de radio

. Esta luz emite unas ciertas longitudes de onda que son las que queremos conocer. La fuente se sitúa en el plano focal de una lente colimadora de focal

y, por lo tanto, los rayos salen paralelos con direcciones angulres comprendidas entre $[0, \epsilon_c]$ respecto al eje óptico, donde $\tan(\epsilon_c) = R_f/f_c'$ . Los rayos que incidan con un ángulo $\epsilon$ se reflejarán múltiplemente en el interior del dispositivo y se irán transmitiendo las diferentes contribuciones. Todos estos rayos transmitidos salen con un ángulo $\epsilon$ . Una segunda lente de focal

los focalizará en un punto de su plan focal. Esto quiere decir que en este punto se hará la suma coherente de todos los rayos. La intensidad que tendremos en este punto, según lo que dedujo en la ecuación 3.17, será

$\begin{displaymath} I_T(\lambda,\epsilon) \propto \frac{1}{1+\frac{4r^2}{(1-r^... ...sin^2(\frac{2 \pi d \cos(\epsilon)}{\lambda})} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(3.23)

Como que el problema presenta simetría de revolución respeto el eje óptico de la segunda lente, todos los puntos del plano focal que se encuentren a una distancia

del eje de colimación ( $\tan(\epsilon) = R/f'$ ) presentarán la misma configuración interferencial y, por lo tanto, su intensidad será la misma. Es decir, en el plano de observación visualizaremos anillos. Podemos determinar cuando se hace máxima la ecuación anterior. Esto pasa si $\sin^2(\frac{2 \pi d \cos(\epsilon)}{\lambda}) = 0$ , o lo que es el mismo, cuando se verifica

$\begin{displaymath} 2d\cos(\epsilon)= m \lambda \quad m\;\textrm{natural} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(3.24)

En el centro, el orden interferencial

(

entero) con el que identificamos un anillo concreto, toma su valor máximo ( $m=2d/\lambda$ );

es cero para $\epsilon = \pi/2$ . Si la fuente de luz tiene radio

, existe un ángulo máximo $\epsilon_c$ con el que los rayos pueden entrar en el sistema. Por lo tanto,

variará entre un valor máximo en el centro y un valor mínimo en el extremo del campo iluminado.

Una de las aplicaciones más importantes del interferómetro de Fabry-Perot consiste en la determinar las longitudes de onda en las cuales emite una fuente de luz. Además, gracias a la elevada precisión del interferómetro, es posible determinar valores muy próximos de longitud de onda. Puesto que cada $\lambda$ genera su propio sistema de anillos independiente, se visualizan parcialmente superpuestos. Consideramos que dos anillos se pueden distinguir (se resuelven), si en el punto medio de la distancia entre dos máximos, el valor de la energía es inferior en mitad de la energía máxima. Tomamos una luz mezcla de dos longitudes de onda, $\lambda_1=\lambda$ y $\lambda_2=\lambda + \Delta \lambda$ . Definimos el poder resolutivo como el cociente $\vert\lambda / \Delta \lambda\vert$ . Tomando el criterio de resolución anterior se puede demostrar que

$\begin{displaymath} \left \vert\frac{\lambda}{\Delta \lambda} \right \vert = \frac{\pi m r}{1-r^2} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(3.25)

La capacidad de resolver longitudes de onda muy próximas aumenta cuando observamos el centro de la imagen de interferencia (

grande) y cuando el factor de reflexión

es alto (tendiendo a la unidad).

El fenómeno de las interferencias en láminas delgadas puede ser utilizado para la construcción de dispositivos de transmitancia muy selectiva con la longitud de onda. La utilización de estos dispositivos permite obtener luz muy monocromática. Consideremos una lámina de grosor

de un material de índice

. Esta lámina se encuentra entre dos vidrios planoparalelos que hacen de soporte. Hacemos incidir normalment luz blanca, $\epsilon=0$ . En estas condiciones, la ecuación del desfase 3.14 para los máximos se escribe,

$\begin{displaymath} \frac{4 \pi}{\lambda} nd = 2 m \pi \vspace{5mm} \end{displaymath}$

(3.26)

es decir $2nd = m \lambda$ . Si el factor de reflexión interno de las caras

es lo suficiente alto, los máximos de interferencia $I_T(\lambda)$ (figura 3.10, ecuación 3.19) se hacen muy estrechos, de manera que sólo pasan las longitudes de onda que verifican la relación $2nd = m \lambda$ . Por ejemplo, con un grosor

nm y un índice

, solamente pasarán las longitudes $\lambda = 510/m$ nm: 510, 255, 170, .... En la zona del visible se transmite con intensidad máxima una única longitud de onda ( $\lambda = 510$ nm).

Consideremos un dispositivo óptico como el que se muestra a la figura 3.15, que utiliza una fuente de luz extensa. Por simplicidad, consideraremos que ésta se encuentra en el plano focal objeto de una lente colimadora. Así conseguimos luz con iluminación paralela en todas las direcciones permitidas por las dimensiones de la fuente. Delante del sistema de iluminación se encuentra un sistema divisor de haz (lámina semitransparente): la mitad de la energía atraviesa la lámina y la otra mitad se refleja. Puesto que la lámina forma un ángulo de

respecto el plano que contiene la lente colimadora, los dos haces resultantes salen formando entre sí un ángulo de

. Estos haces de luz viajan en sus respectivas direcciones hasta llegar a los espejos, cambian de sentido y se reencuentran de nuevo en la lámina semitransparente. Parte de la luz vuelve hacia la fuente y parte se dirige hacia un plano de observación donde se analiza la luz.

**Figura 3.15:** El interferómetro de Michelson
$\includegraphics[width=8cm]{michart2.eps}$

Los espejos no tienen porque encontrarse a la misma distancia de la lámina semiespejada. Sea

la distancia de la lámina hasta el espejo situado normalmente al brazo horizontal y

, la distancia de la lámina hasta el espejo dispuesto normalmente al brazo vertical. La diferencia de camino óptico es $\Delta= 2(l_a-l_b)=2d$ (

, puesto que el dispositivo se encuentra en el aire). Si el haz de luz toma una dirección que forma un ángulo $\theta$ con el eje de la lente colimadora, se puede comprobar que, en este caso, la diferencia de camino óptico es $\Delta=2d \cos(\theta)$ . El sistema presenta simetría de revolución respeto a un eje normal al plano de observación y, por lo tanto, en este plano se obtendrán anillos; además, como se trata de la interferencia de dos ondas que recorren caminos ópticos diferentes, la intensidad será proporcional a

$\begin{displaymath} I \propto \cos^2(\frac{2\pi}{\lambda}\Delta) \vspace{5mm} \end{displaymath}$ ,

(3.27)

y, en consecuencia, los máximos de interferencia se dispondrán siguiendo la ley siguiente:

$\begin{displaymath} 2d \cos(\theta) = m \lambda \vspace{5mm} \end{displaymath}$ ,

(3.28)

con m natural. Si consideramos justo el centro de la figura de interferencia, $\cos(\theta)=1$ y, por lo tanto, en el centro se verificará $2d = m\lambda$ . Esto quiere decir que, si la diferencia de caminos ópticos

no es múltiplo exacto de $\lambda$ , en el centro no tendremos un máximo de intensidad. Además, si

(diferencia de caminos ópticos es cero), entonces estamos en

Existen otros interferómetros de doble haz. Cabe destacar el interferómetro de Mach-Zehnder, por su amplia utilización en metrología óptica (ver figura 3.16).

**Figura 3.16:** El interferómetro de Mach-Zehnder
$\includegraphics[width=10cm]{mzen.eps}$

Consiste en un sistema de iluminación que genera un haz de ondas planas. Un sistema divisor del haz hace que la luz siga dos caminos diferentes. Mediante espejos se consigue que la luz siga una trayectoria como la que se muestra en la figura, y mediante un segundo cubo divisor de haz se suman las dos contribuciones, que, obviamente, han seguido caminos ópticos diferentes. En el plano de observación se analizan los resultados.