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2.5 Óptica de medios
anisótropos
Subsecciones
2.5.1 Nomenclatura
Los medios anisótropos se caracterizan por
presentar propiedades ópticas
diferentes según la dirección considerada. Esto es típico
de los materiales cristalinos. En general, el vector campo eléctrico
y el vector
desplazamiento
están relacionados por
la relación , donde se un tensor de 3x3
elementos.
Es posible demostrar que este tensor se simétrico, y por lo tanto,
diagonaliza en una cierta base de vectores ortogonales.
. |
(2.70) |
Podemos definir el tensor de índices,
, |
(2.71) |
así como las velocidades principales,
. |
(2.72) |
Estas variables contienen información de la física del problema
y más adelante serán analizadas con mayor detalle.
2.5.2 Ecuaciones de Maxwell.
Soluciones
Consideramos un medio dieléctrico anisótropo,
no magnético
( ), sin conductividad ( ) ni densidad de carga ( ). En estas condiciones, las
ecuaciones
de Maxwell se escriben:
|
(2.73) |
|
|
![$\displaystyle \vec{\nabla} \vec{H} = 0
\vspace{5mm}$](img173.gif) .
|
La solución de ondas planas armónicas para estas ecuaciones
será
|
(2.74) |
|
![$\displaystyle {\vec D} = {\vec D_0} \exp( ip(c t - n {\vec r}{\vec s}))
\vspace{5mm}$](img421.gif) ,
|
donde es el índice de refracción
y es la velocidad de fase.
Introduciendo
estas soluciones en las ecuaciones de Maxwell, y calculando las
derivadas
espaciales y temporales correspondientes, obtenemos las siguientes
condiciones:
|
(2.75) |
|
|
![$\displaystyle {\vec D} {\vec s} = 0
\vspace{5mm}$](img427.gif) .
|
De cada ecuación se deduce una condición:
, y forman un triedro.
, y forman un triedro.
y son perpendiculares.
y son perpendiculares.
Además, combinando estas cuatro ecuaciones y
haciendo desaparecer
el campo magnético, podemos escribir
. |
(2.76) |
Manipulando esta ecuación, podemos escribir las componentes del vector
,
, |
(2.77) |
de donde se deduce que el vector
es constante y por lo tanto la luz está linealmente polarizada.
Multiplicando
por se deduce la siguiente
relación:
. |
(2.78) |
Figura 2.15:
Campos propagándose en un medio anisótropo
![\includegraphics[width=\textwidth]{8_8_2.eps}](img432.gif) |
Como podemos ver a la izquierda de la figura 2.15,
los vectores , , ,
y se disponen
de la manera
que se indica. El vector de Poynting es proporcional al producto
vectorial
. La dirección del rayo,
y por lo tanto, la dirección de la propagación de la energía
no coincide con la dirección del vector normal al frente de onda
. La ecuación 2.78 aporta mucha
información: es el
vector normal al frente de onda e indica su dirección de propagación.
Por otra parte, , y son parámetros que vienen fijados por el medio,
puesto que se expresan directamente en términos de las componentes
del tensor dieléctrico, y
es la velocidad que puede tomar el frente de onda. Fijado el medio y la
dirección de propagación ,
la fórmula 2.78
resulta una ecuación cuya incógnita
es . Se puede comprobar que esta
ecuación
tiene dos soluciones para ,
que denominaremos y
. Por lo tanto,
para una posible dirección
del frente de onda, se pueden propagar dos ondas que viajan con
velocidades
diferentes. Se puede comprobar que las polarizaciones de estas ondas ( y ), verifican . Por otra parte,
aunque la dirección de propagación de la fase sea común,
la dirección del rayo de cada onda es diferente. Estos resultados
se muestran gráficamente en la figura 2.15.
Definición: las direcciones que verifican que se denominan ejes opticos.
Podemos distinguir tres casos:
![$\epsilon_x = \epsilon_y = \epsilon_z $](img444.gif) |
Sistema equivalente a un medio homogéneo |
![$\epsilon_x = \epsilon_y \neq \epsilon_z $](img445.gif) |
Sistema uniaxial (un eje óptico) |
![$\epsilon_x \neq \epsilon_y \neq \epsilon_z $](img446.gif) |
Sistema biaxial (dos ejes ópticos) |
En el primer caso considerado, los valores de la diagonal del tensor
dieléctrico
son iguales y, por lo tanto, es como si
fuera un escalar; se puede asimilar este caso a la propagación en
un medio homogéneo. Esto es lo que pasa con los materiales que
cristalizan
en el sistema cúbico. El segundo caso se da en determinados materiales
que cristalizan según los sistemas hexagonal, tetragonal o trigonal.
Desde el punto de vista óptico presentan la característica
de tener un eje óptico. Los cristales que no tienen ninguna dirección
de simetría y los tres elementos del tensor dieléctrico son
diferentes, tienen dos ejes ópticos.
2.5.3 Medios uniaxiales
Ahora estudiaremos con más detalle los medios
uniaxiales. Partimos
de la ecuación 2.78.
En los medios
uniaxiales se verifica que o lo que es el
mismo, . Denominaremos (velocidad ordinaria).
En los medios uniaxiales la ecuación 2.78 toma la forma
, |
(2.79) |
donde hemos escrito el vector
en coordenadas esféricas:
|
(2.80) |
|
![$\displaystyle s_z = \cos(\alpha)
\vspace{5mm}$](img453.gif) ,
|
es el ángulo
que forma el
vector con el eje y
es el ángulo que forma la proyección del vector en el plano con el eje .
Recordemos que la base de vectores que se está
utilizando es aquella en la que el tensor dieléctrico diagonaliza.
Esta ecuación tiene, como ya comentamos anteriormente, dos soluciones,
que en este caso son
|
(2.81) |
![$\displaystyle v_{n2}^2 = v_o^2 \cos^2(\alpha) + v_z^2 \sin^2(\alpha)
\vspace{5mm}$](img457.gif) .
|
La primera de las soluciones para la velocidad de fase no depende de la
dirección
considerada y
es igual a . Por lo tanto,
la velocidad de fase
de una de las ondas será siempre (de igual manera que se propagaría una onda en
el interior de un dieléctrico homogéneo e isótropo).
Como consecuencia de esto, un emisor puntual en el interior de un medio
anisótropo uniaxial generaría una onda esférica. La
segunda de las soluciones indica que la onda se propaga con velocidades
diferentes según la dirección considerada; es la velocidad extraordinaria.
La dirección del eje óptico la encontraremos igualando las
dos velocidades de fase obtenidas, . Esta relación se
verifica cuando ,
es
decir, cuando el eje óptico coincide con la dirección (dirección del vector propio del
tensor dieléctrico correspondiente al valor propio ). La solución es la ecuación de una elipse,
lo que indica que los frentes de onda asociados son elípticos. Por
lo tanto, un emisor puntual en el interior de este medio generaría
un frente de onda con forma de elipsoide de revolución.
Figura 2.16:
Eje óptico
y frentes de onda
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La figura 2.16 muestra los dos frentes de
onda generados. Existe una dirección (eje ) en la que los dos frentes de onda se han propagado
a
la misma velocidad: es el eje óptico. Un problema interesante
que podemos estudiar es el comportamiento de una onda plana que incide
normalmente
sobre una lámina planoparalela de material anisótropo uniaxial,
como por ejemplo, la calcita.
Figura 2.17:
Onda ordinaria
y extraordinaria en un medio uniaxial
![\includegraphics[width=\textwidth]{8_8_4.eps}](img462.gif) |
La figura 2.17 ilustra el experimento. Una
onda plana incide normalmente, y por lo tanto, el vector normal al
frente
de onda no se desvía
al cambiar de medio (ángulo de incidencia, , ángulo de refracción ). En el interior del medio uniaxial
viajarán dos ondas, las polarizaciones de las cuales serán
normales entre si. La dirección de la energía vendrá
dada por el vector de Poynting . En
un medio uniaxial, una de las ondas se comporta como si se propagara en
un medio ordinario, por lo tanto, la dirección del vector de fase y la del vector de Poynting
son
coincidentes. En cambio, para la onda extraordinaria estos dos vectores
tendrán direcciones diferentes. Además, estas dos ondas se
propagan con velocidades de fase
y y, por lo tanto, existirá un
desfase
entre ellas. Cuando los frentes de onda llegan al segundo plano de
separación
de medios, se producirá una nueva refracción. En el caso de
la onda ordinaria, el vector de fase incide normalmente y por lo tanto
la
onda no se desvía. En cuanto a la onda extraordinaria, la dirección
del rayo forma un cierto ángulo con la superficie de separación.
En cambio, el vector de fase incide normalmente sobre esta superficie.
Como
vimos anteriormente, al deducir la ley de la refracción, ésta
se aplica sobre la dirección del vector de fase y no sobre la dirección
del rayo (que en el
caso de
los medios dieléctricos ordinarios son coincidentes). Por lo tanto,
se trata también de incidencia normal y , consecuentemente, las dos
ondas, ordinaria y extraordinaria, salen con direcciones del vector de
Poynting
paralelas. Visualmente, si observamos un objeto interponiendo un
cristal
de calcita con caras planoparalelas, observaremos que la imagen se
desdobla.
Una imagen aparece justo en la misma posición donde está el
objeto (onda ordinaria) y la otra sale desplazada (onda
extraordinaria).
Utilizando un polarizador verificaríamos que estas dos ondas están
polarizadas linealmente y sus direcciones de polarización son normales
entre sí.
2.5.4 Láminas retardadoras
Figura 2.18:Propagación
según una dirección normal al eje óptico
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Figura 2.19:
Propagación
según el eje óptico
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Un ejemplo interesante de dispositivo óptico
basado en los materiales
anisótropos uniaxiales son las láminas retardadoras. Para cualquier
dirección de propagación de la fase pueden viajar dos ondas
con polarizaciones perpendiculares entre sí. Consideremos una lámina
planoparalela de un material uniaxial, de grosor y cortada de manera que el eje óptico sea paralelo
a las caras de la lámina. Al incidir normalmente un haz de luz sobre
ésta, en el interior de la lámina se propagarán dos ondas:
como se trata de un medio uniaxial, la onda ordinaria viajará sin
cambiar
de dirección. Sin embargo, como que el eje óptico es paralelo
a las caras, el rayo asociado a la onda extraordinaria también se
propagará en la misma dirección, según se indica en
la figura 2.18.
Ahora bien, los dos rayos
llegarán desfasados a la segunda cara de la lámina, puesto
que el índice de refracción es diferente para cada uno. Por
lo tanto, tenemos dos ondas desfasadas con polarizaciones ortogonales
entre
sí y que viajan en la misma dirección. En general, tendremos
luz polarizada elíptica. El desfase entre las dos componentes se
calcula
haciendo:
. |
(2.82) |
donde y . Por lo tanto, tomando de forma apropiada, podemos obtener
láminas
que generen, por ejemplo, un desfase de entre ambas componentes tomando (denominadas
láminas
). Las láminas
que generan
un de desfase se denominan
láminas . Con una
lámina y polarizadores
lineales
se puede obtener fácilmente luz polarizada circular. Un último
comentario: si el eje óptico fuese perpendicular a las caras de la
lámina, no apreciaríamos ningún desfase entre las dos
componentes ya que las dos ondas se propagan a la misma velocidad
(véase
la figura 2.19).
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