PRUEBAS PARA DOS MUESTRAS RELACIONADAS

Estos contrastes permiten comprobar si hay diferencias entre las distribuciones de dos poblaciones a partir de dos muestras dependientes o relacionadas; es decir, tales que cada elemento de una muestra está emparejado con un elemento de la otra, de tal forma que los componentes de cada pareja se parezcan entre sí lo más posible por lo que hace referencia a un conjunto de características que se consideran relevantes. Tambén es posible que cada elemento de una muestra actúe como su propio control.

Algunas de la pruebas que pueden realizarse con el programa SPSS son: la prueba de Wilcoxon, la de signos y la de McNemar.

PRUEBA DE SUMA DE RANGOS DE WILCOXON

Cuando se trata de variables medibles en por lo menos una escala ordinal y pueden suponerse poblaciones contínuas la prueba no paramétrica más potente es la de Wilcoxon.

La hipótesis nula del contraste postula que las muestras proceden de poblaciones con la misma distribución de probabilidad; la hipótesis alternativa establece que hay diferencias respecto a la tendencia central de las poblaciones y puede ser direccional o no.

El contraste se basa en el comportamiento de las diferencias entre las puntuaciones de los elementos de cada par asociado, teniendo en cuenta no sólo el signo, sino también la magnitud de la diferencia.

Sea la diferencia entre las puntuaciones de la pareja i-ésima; si alguna de estas diferencias es nula la pareja
correspondiente se elimina del análisis, de forma que el tamaño de la muestra es n, el número de diferencias no nulas. A continuación se asignan rangos desde 1 hasta n atendiendo únicamente al valor absoluto de las di y se suman los rangos correspondientes a las diferencias positivas y a las diferencias negativas por separado. Si la hipótesis nula es cierta, X e Y tienen el mismo valor central y es de esperar que los rangos se distribuyan aleatoriamente entre las diferencias positivas y negativas y, por tanto, que ambas sumas de rangos sean aproximadamente iguales. El estadístico de prueba, T, es la menor de las dos sumas de rangos. Cuando n > 15 la distribución muestral de T bajo el supuesto de que H0 es cierta se aproxima a una normal de parámetros:

El estadístico de prueba es el valor Z:

que se distribuye según una normal
tipificada.

Para el nivel de significación deseado se rechazará la hipótesis nula si Z pertenece a la región crítica localizada en las dos colas o en una cola de la normal tipificada, según la naturaleza de la hipótesis alternativa.

PRUEBA DE SIGNOS

La prueba de los signos permite contrastar la hipótesis de que las respuestas a dos ''tratamientos'' pertenecen a poblaciones idénticas. Para la utilización de esta prueba se requiere únicamente que las poblaciones subyacentes sean contínuas y que las respuestas de cada par asociado estén medidas por lo menos en una escala ordinal.

La hipótesis nula puede expresarse como:

Siendo Xi la respuesta del elemento i-ésimo al primer ''tratamiento'' e Yi la respuesta del elemento i-ésimo al segundo ''tratamiento''.

La hipótesis alternativa puede ser direccional, cuando postula que X es estocásticamente mayor (o menor) que Y, o no direccional, cuando no predice la dirección de la diferencia.

Para realizar el contraste se hallan los signos (+ o -) de las diferencias no nulas entre las respuestas de los dos componentes de cada par y se cuenta cuántas son positivas, S+, y cuántas negativas, S-. Si H0 es cierta, es de esperar que aproximadamente la mitad de las diferencias sean positivas y la otra mitad negativas.

El estadístico de prueba es S= mín [S+, S-].

Si H0 es cierta, S tiene distribución binomial de parámetros n= nº de diferencias nulas y= 0'5. Si n es grande, la distribución de S puede aproximarse mediante una normal de parámetros y la decisión dependerá del valor tipificado de S. Para mejorar la aproximación se realiza una corrección de continuidad, de forma que el estadístico de prueba es:

Z se distribuye según una normal tipificada.

Cuando el número de diferencias no nulas es pequeño la aproximación de la distribución de S mediante la normal no es buena y en este caso el SPSS realiza directamente la prueba binomial, dando el nivel de significación a partir del cual se rechaza H0 en un contraste de dos colas. Si el contraste se realiza a una cola dicho nivel de significación se reduce a la mitad.

PRUEBA DE MCNEMAR

La prueba de McNemar se utiliza para decidir si puede o no aceptarse que determinado ''tratamiento'' induce un cambio en la respuesta dicotómica o dicotomizada de los elementos sometidos al mismo, y es aplicable a los diseños del tipo ''antes-después'' en los que cada elemento actúa como su propio control.

Los resultados correspondientes a una muestra de n elementos se disponen en una tabla de frecuencias 2 x 2 para recoger el conjunto de las respuestas de los mismos elementos antes y después. El aspecto general de dicha tabla, en la que los signos + y - se utilizan para representar las diferentes respuestas, es el siguiente:

En las celdas de la tabla, a es el número de elementos cuya respuesta es la misma, -; b es el número de elementos cuya respuesta es - antes del ''tratamiento'' y + después de éste; c es el número de elementos que han cambiado de + a -; y d es el número de elementos que mantienen la respuesta +.

Por tanto, b+c es el número total de elementos cuyas respuestas han cambiado, y son los únicos que intervienen en el contraste. La hipótesis nula es que el ''tratamiento'' no induce cambios significativos en las respuestas, es decir, los cambios observados en la muestra se deben al azar, de forma que es igualmente probable un cambio de + a - que un cambio de - a +. Así pues, si H0 es cierta, de los b+c elementos cuya respuesta ha cambiado es de esperar que (b+c)/2 hayan pasado de + a -, y (b+c)/2 hayan pasado de - a +. En otras palabras, si H0 es cierta, la frecuencia esperada en las correspondientes celdas es (a+b)/2.

La hipótesis alternativa puede ser no direccional, cuando postula que la probabilidad de un cambio de + a - tiene distinta probabilidad que un cambio de - a +, o direccional, cuando predice que un cambio de - a + es más (o menos) probable que un cambio de + a -.

El estadístico de prueba que permite contrastar si existen diferencias significativas entre las frecuencias esperadas y las observadas es:

Oi= frecuencia observada en la i-ésima celda

Ei = frecuencia esperada en la i-ésima celda si H0 es cierta

k = número de celdas

Para contrastar la significación de los cambios interesan sólo las celdas que recogen cambios, por tanto el estadístico puede expresarse como

Si H0 es cierta, el estadístico tiene distribución aproximadamente chi-cuadrado con 1 grado de libertad. La aproximación es más precisa si se realiza la corrección de continuidad de Yates, quedando el estadístico:

La hipótesis nula, de que ambos tipos de cambio son igualmente probables, se rechaza si el valor del estadístico se encuentra en la región crítica.

Cuando la frecuencia esperada (b+c)/2 es pequeña la aproximación de la distribución del estadístico de prueba a la chi-cuadrado no es buena y, en tal caso, el SPSS no calcula el estadístico anterior, sino que realiza la prueba binomial. El contraste se plantea en este caso de la siguiente forma: supongamos que c<b; en este caso la hipótesis nula es que c es un valor de una variable X con distribución binomial de parámetros n=b+c y =0,5. El nivel de significación para una prueba de dos colas es y se rechazará H0 para niveles de significación iguales o superiores a éste. Si la hipótesis alternativa es direccional el nivel de significación a partir del cual se rechazará H0 es la mitad del nivel de significación bilateral.

REALIZACIóN DE LOS CONTRASTES

Para realizar estas pruebas la secuencia es:

Analizar

Pruebas no paramétricas

2 muestras relacionadas

En el cuadro de diálogo se seleccionan en Contrastar pares las variables. Se activa la o las pruebas que se quieren realizar en el recuadro Tipo de prueba. Por defecto únicamente está activada la prueba de Wilcoxon.

EJEMPLO

Con los datos de la encuesta Encinf.sav probar si hay discrepancia entre la valoración que hacen los alumnos sobre la dotación de las aulas de informática (Dotacion) y la valoración que hacen del software disponible (Software).

Se trata de contrastar la hipótesis nula de que la valoración de la dotación de las aulas es igual a la valoración del software instalado. Dado que las valoraciones de ambas características son asignadas por los mismos individuos, las muestras resultantes no son independientes. Por otra parte, las variables se miden en una escala ordinal, y por tanto el contraste más adecuado es la prueba de Wilcoxon.

Para realizar este contraste la secuencia es:

Estadística > Pruebas no paramétricas > 2 muestras relacionadas.

En el cuadro de diálogo se selecciona en Contrastar pares las variables Dotacion y Software; por defecto está activada la prueba de Wilcoxon. Al aceptar se obtienen los siguientes resultados:

Como puede verse en el cuadro Rangos, el número de elementos para los cuales el valor de la variable Software es mayor que el de la variable dotacion es considerablemente mayor que el de los elementos para los que está mejor valorada la dotación que el software. En el cuadro Estadísticos de contraste, el valor tipificado del estadístico de prueba (la menor de las dos sumas de rangos) es igual a -5,280; por tanto, se rechaza la hipótesis nula de que la valoración de la dotación es igual que la del software para cualquier nivel de significación.