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2019-2020: Abstracts i Slides
High-frequency analysis of
parabolic stochastic PDEs with multiplicative noise
We consider the stochastic heat equation
driven by a multiplicative Gaussian noise that is white in
time and spatially homogeneous in space. Assuming that the
spatial correlation function is given by a Riesz kernel of
order $\alpha \in (0,1)$, we prove a central limit theorem
for the power variations of the solution. At the same
time, we show that the same central limit theorem fails in
general if $\alpha = 1$ (in dimension $d \geq 2$) or if
the noise is a space-time white noise (in dimension $d =
1$).
2/10/2019: Verónica Miró Pina, UNAM.
El coalescente simétrico
Una de las cuestiones
prominentes en el área de la genética de poblaciones es
estudiar la demografía del pasado.
En este trabajo estudiamos un modelo de población con
cambios demográficos bruscos (los llamados "cuellos de
botella"), cuya evolución está caracterizada por un proceso
de difusión con saltos. Demostramos que, si se toma una
muestra de n individuos en el presente, su árbol genealógico
está dado por un proceso de coalescencia, que denominamos
"el coalescente simétrico". Se trata de un proceso de Markov
sobre las particiones intercambiables de los naturales cuya
existencia y caracterización está relacionada con el teorema
de de Finetti. El coalescente y la difusión con saltos están
relacionados matemáticamente mediante dualidad. El
coalescente simétrico pueden caracterizar de manera sencilla
gracias a una medida (posiblemente infinita) sobre los
naturales.Además, los árboles correspondientes están
caracterizados por una bonita propiedad de simetría: son
invariantes por la transformación que consiste en cortar una
rama, y pegarla en cualquier otro nodo, a la misma altura.
Estudiamos distintas propiedades de estos árboles como su
longitud, o el espectro de frecuencias, que nos permiten
establecer tests estadísticos para determinar si una
población ha sufrido cuellos de botella en el pasado.
Trabajo conjunto con: Arno
Siri-Jégousse y Adrián González Casanova
09/09/2019: Archil
Gulisashvilli, Ohio University.
Another
problem addressed in our work concerns moment explosions
for asset price processes. We prove that for such a
process in an uncorrelated Gaussian stochastic volatility
model, all the moments of order greater than one explode
provided that the volatility function grows faster than
linearly. Partial results are also obtained for correlated
models.
Gaussian Stochastic
Volatility Models: Scaling Regimes, Large Deviations and
Moment Explosions
In
a Gaussian stochastic volatility model, the evolution
of volatility is described by a stochastic process
that can be represented as a positive continuous
function (the volatility function) of a continuous
Gaussian process (the volatility process). If the
volatility process exhibits fractional features, then
the model is called a Gaussian fractional stochastic
volatility model. Important examples of fractional
volatility processes are fractional Brownian motion,
the Riemann-Liouville fractional Brownian motion, and
the fractional Ornstein-Uhlenbeck process. If the
volatility process admits a Volterra type
representation, then the model is called a Volterra
type stochastic volatility model. Forde and Zhang
established a large deviation principle for the
log-price process in a Volterra type model under the
assumptions that the volatility function is globally Hölder continuous
and the volatility process is fractional Brownian
motion. We prove a similar small-noise large deviation
principle under significantly weaker restrictions.
More precisely, we assume that the volatility function
satisfies a mild local regularity condition, while the
volatility process is any Volterra type Gaussian
process. Moreover, we establish a sample path large
deviation principle for the log-price process in a
Volterra type model, and a sample path moderate
deviation principle for general Gaussian models. In
addition, applications are given to the study of the
asymptotic behavior of exit probabilities, call
pricing functions, and the implied volatility in
various mixed scaling regimes.
16/09/2019: Jorge León,
CINVESTAV.
En esta charla estudiaremos métodos numéricos para ecuaciones diferenciales estocásticas governadas por un movimiento browniano fraccionario en los dos siguientes casos:
a) El parámetro de Hurst 1/4<H<1/2 y la integral estocástica es en el sentido de Stratonovich.
b) Aquí H>1/2 y la integral estocástica es la extensión de la integral de Young dada por M. Zähle.
En él primer (resp. segundo) caso usamos una aproximación de Taylor de primer orden de la representación de Doss-Sussman de la solución (resp. de los coeficientes) para obtener nuestros resultados . En el segundo caso la aproximación es la solución explícita de una ecuación lineal a trozos.
Trabajo conjunto con H. Araya y S. Torres.
Dos esquemas numéricos para
ecuaciones diferenciales estocásticas gobernadas por un
movimiento browniano fraccionario
En esta charla estudiaremos métodos numéricos para ecuaciones diferenciales estocásticas governadas por un movimiento browniano fraccionario en los dos siguientes casos:
a) El parámetro de Hurst 1/4<H<1/2 y la integral estocástica es en el sentido de Stratonovich.
b) Aquí H>1/2 y la integral estocástica es la extensión de la integral de Young dada por M. Zähle.
En él primer (resp. segundo) caso usamos una aproximación de Taylor de primer orden de la representación de Doss-Sussman de la solución (resp. de los coeficientes) para obtener nuestros resultados . En el segundo caso la aproximación es la solución explícita de una ecuación lineal a trozos.
22/10/2019: Jozsef Lorinczi,
University of Loughborough.
The location of extrema of
solutions for a class of non-local equations
