El principio de indeterminación
Lev Landau y Evgeny Lifshitz
Teoría cuántica (No-relativista). Capítulo 1. Conceptos fundamentales de la mecánica cuántica
Cuando se intenta aplicar la mecánica y la electrodinámica clásicas a la explicación de los fenómenos atómicos, ambas conducen a resultados que se encuentran en abierta contradicción con la experiencia. Un ejemplo muy claro de esto lo proporciona ya la contradicción a que se llega al aplicar la electrodinámica ordinaria al modelo de átomo en el que los electrones se mueven en torno del núcleo siguiendo órbitas clásicas. En este movimiento, como en cualquier movimiento acelerado de las cargas, los electrones deberían radiar continuamente ondas electromagnéticas. Con la radiación, los electrones perderían su energía y esto debería conducir, en último término, a su caída sobre el núcleo. Así, pues, según la electrodinámica clásica el átomo sería inestable, lo que en modo alguno corresponde a la realidad.
Esta profunda contradicción entre teoría y experimento nos dice que la construcción de una teoría aplicable a los fenómenos atómicos -esto es, a fenómenos que ocurren con partículas de masa muy pequeña y en muy pequeñas regiones del espacio-, exige un cambio esencial en las leyes y nociones fundamentales de las teorías clásicas.
Como punto de partida para descubrir cuáles son estos cambios resulta conveniente adoptar un fenómeno observado experimentalmente, la llamada difracción de los electrones. Cuando un haz homogéneo de electrones atraviesa un cristal, a la salida del mismo se observa una figura constituida por máximos y mínimos de intensidad consecutivos del todo análoga a la figura de difracción que se observa en la difracción de las ondas electromagnéticas. Así, en ciertas condiciones el comportamiento de las partículas materiales - de los electrones - presenta rasgos típicos de los procesos ondulatorios.
El siguiente experimento ideal, que corresponde a una esquematización de la difracción electrónica por un cristal, pone claramente de manifiesto hasta qué punto es profunda la contradicción entre este fenómeno y las nociones ordinarias acerca del movimiento. Imaginemos una pantalla que no se deja atravesar por los electrones y en la cual se han practicado dos rendijas. Si se observa el paso del haz de electrones por una de ellas, cuando la otra rendija permanece cerrada, obtenemos sobre una pantalla plana colocada detrás de la rendija una cierta figura de distribución de la intensidad; de la misma manera obtenemos otra figura abriendo la segunda rendija y cerrando la primera. En cambio, observando el paso del haz simultáneamente por las dos rendijas, de acuerdo con las ideas ordinarias, deberíamos esperar hallar una figura consistente en la simple superposición de las dos anteriores, ya que cada electrón, moviéndose en su trayectoria, pasa por una de las rendijas sin ejercer influencia alguna sobre los electrones que pasan por la otra. El fenómeno de la difracción electrónica muestra, sin embargo, que en realidad se obtiene una figura de difracción que, gracias a la interferencia, de ningún modo se reduce a la suma de las figuras dadas por cada una de las rendijas por separado. Es claro que este resultado en manera alguna se puede conciliar con el concepto de movimiento de los electrones a lo largo de una trayectoria.
Resulta así que la mecánica a que obedecen los fenómenos atómicos -la llamada mecánica ondulatoria o cuántica-, debe basarse en nociones acerca del movimiento diferentes en esencia de las ideas de la mecánica clásica. En la mecánica cuántica no existe el concepto de trayectoria de una partícula. Esta circunstancia constituye el contenido del llamado principio de indeterminación -uno de los conceptos fundamentales de la mecánica cuántica descubierto por W. HEISENBERG en 1927.
Al rechazar las nociones ordinarias de la mecánica clásica, el principio de indeterminación posee, por así decirlo, un contenido negativo. Es natural que de por sí es del todo insuficiente para construir, tomándolo como base, la nueva mecánica de las partículas. En la base de una tal teoría deben encontrarse, claro está, ciertas proposiciones afirmativas […]. Sin embargo, para formularlas es necesario examinar previamente cómo se plantean los problemas con que se enfrenta la mecánica cuántica. Para ello analicemos ante todo el carácter peculiar de la relación que existe entre la mecánica cuántica y la clásica. De ordinario, la teoría más general se puede formular de manera lógicamente cerrada con independencia de una teoría menos general que constituye un caso límite de la primera. Así, la mecánica relativista se puede construir partiendo de sus principios fundamentales y sin hacer referencia ninguna a la mecánica newtoniana. La formulación de las tesis fundamentales de la mecánica cuántica, en cambio, es en principio imposible sin acudir a la mecánica clásica.
El que un electrón carezca de trayectoria determinada le priva también, al mismo tiempo, de cualesquiera otras características dinámicas. Es claro por ello que para un sistema constituido solamente por objetos cuánticos sería imposible construir una mecánica lógicamente cerrada. La posibilidad de una descripción cuantitativa del movimiento de un electrón exige la existencia de objetos físicos que, con precisión suficiente, obedecen a la mecánica clásica. Si el electrón entra en interacción con un «objeto clásico», el estado de éste, en general, cambia. El carácter y la magnitud de este cambio dependen del estado del electrón y pueden así servir para caracterizarlo cuantitativamente.
En tales circunstancias el «objeto clásico» se suele llamar aparato y del proceso de su interacción con el electrón se suele decir que se trata de una medición. Es necesario subrayar, sin embargo, que en modo alguno se trata aquí de un proceso de medición en el que participa el físico observador. En mecánica cuántica se entiende por medición cualquier proceso de interacción entre objetos clásicos y cuánticos que ocurre aparte y con independencia de un observador cualquiera. Fue N. Bohr quien puso de manifiesto el profundo papel que desempeña el concepto de medición en la mecánica cuántica.
Hemos definido un aparato como un objeto físico que obedece con precisión suficiente a la mecánica clásica. Tal es, por ejemplo, un cuerpo de masa suficientemente grande. Con todo, no hay que pensar que el carácter macroscópico constituye una propiedad ineludible de un aparato. En ciertas condiciones puede representar también el papel de aparato un objeto evidentemente microscópico, dado que el concepto de «con precisión suficiente» depende del problema concreto planteado. Así, el movimiento de un electrón en una cámara de Wilson se observa por la traza de niebla que deja, traza cuyo grosor es grande comparado con las dimensiones atómicas; dentro de este grado de precisión en la definición de trayectoria, el electrón es un objeto enteramente clásico.
La mecánica cuántica ocupa así una posición muy particular en el conjunto de las teorías físicas: contiene la mecánica clásica como caso límite, y al mismo tiempo tiene necesidad de este caso límite para su propia fundamentación.
Podemos formular ahora el problema que se plantea la mecánica cuántica. Un problema típico consiste en predecir el resultado de una medición, partiendo del resultado conocido de mediciones anteriores. Además, […], en general, la mecánica cuántica limita, por comparación con la mecánica clásica, el conjunto de valores que pueden tomar las diferentes magnitudes físicas (por ejemplo, la energía), es decir, los valores que pueden constituir el resultado de la medición de una cantidad dada. El formalismo de la mecánica cuántica debe hacer posible determinar estos valores permitidos.
El proceso de medición posee en mecánica cuántica una peculiaridad muy importante: ejerce siempre una acción sobre el electrón al que se aplica, y esta acción no se puede hacer, por principio, tan débil cuanto se quiera para una precisión dada de la medición. Cuanto más precisa ésta, tanto más intensa es la acción que se ejerce, y tan sólo en las mediciones de precisión muy pequeña puede conseguirse que la acción sobre el objeto de la medición sea débil. Esta propiedad de las mediciones está lógicamente ligada con el hecho de que las características dinámicas del electrón se manifiestan tan sólo como resultado de la propia medición; es claro que si la acción del proceso de medición sobre el objeto se pudiera debilitar cuanto se quisiera, ello significaría que la cantidad medida posee de suyo un valor determinado, independiente de la medición.
Entre los diferentes tipos de medición representa un papel fundamental la medición de las coordenadas del electrón. Dentro de los límites de aplicabilidad de la mecánica cuántica, es siempre posible realizar la medición de las coordenadas de un electrón con precisión arbitraria.
Supongamos que al cabo de determinados intervalos de tiempo △t se efectúan sucesivas mediciones de las coordenadas de un electrón. Los resultados, en general, no se encuentran sobre una curva lisa. Por el contrario, cuanto más exactamente se efectúan las mediciones, tanto más discontinua, más desordenada es la marcha que presentan sus resultados en correspondencia con el hecho de que no existe para un electrón el concepto de trayectoria. Una trayectoria más o menos lisa se obtiene solamente si se determinan las coordenadas de un electrón con un grado de precisión no muy grande, como, por ejemplo, mediante la condensación de gotitas de vapor en la cámara de Wilson.
Si, en cambio, manteniendo constante la precisión de las medidas, se disminuyen los intervalos △t entre mediciones, las medidas vecinas darán, claro está, valores de las coordenadas próximos entre sí. Sin embargo, si bien los resultados de una serie de mediciones sucesivas se encontrarán en una pequeña región del espacio, se distribuirán en ella de una manera totalmente desordenada, sin situarse en modo alguno sobre una curva lisa. En particular, cuando △t tiende a cero, los resultados de mediciones vecinas nunca tienden a colocarse sobre una recta.
Este último hecho indica que en mecánica cuántica no existe el concepto de velocidad de una partícula en el sentido clásico de la palabra, es decir, como límite al que tiende la diferencia de las coordenadas correspondientes a dos instantes dividida por el intervalo △t entre ellos. Sin embargo, veremos más adelante que en dicha mecánica es posible, con todo, dar una definición razonable de la velocidad de una partícula en un instante dado, definición que, al pasar a la mecánica clásica, se reduce al concepto clásico de velocidad.
Pero mientras en mecánica clásica una partícula posee en cada instante unas coordenadas y una velocidad determinadas, en mecánica cuántica las cosas ocurren de una manera completamente distinta. Si como resultado de una medida se atribuyen determinadas coordenadas al electrón, en tales condiciones no posee absolutamente ninguna velocidad determinada. Recíprocamente, si el electrón posee una velocidad determinada, no puede tener una posición determinada en el espacio. En efecto, la existencia simultánea, en un instante arbitrario, de coordenadas y de velocidad significaría que existe una determinada trayectoria, trayectoria que el electrón no posee. Así, pues, en mecánica cuántica las coordenadas y la velocidad del electrón son cantidades que no se pueden medir simultáneamente con exactitud, es decir, no pueden tener simultáneamente valores determinados. Cabe decir que las coordenadas y la velocidad de un electrón son cantidades que no existen a la vez. […]
Una descripción completa del estado de un sistema físico se obtiene en mecánica clásica dando, para un cierto instante, todas sus coordenadas y velocidades; con estos datos iniciales las ecuaciones del movimiento determinan por completo el comportamiento del sistema en cualquier instante ulterior. En mecánica cuántica esta descripción es imposible por principio, dado que las coordenadas y las correspondientes velocidades no, existen simultáneamente. De esta manera la descripción del estado de un sistema cuántico se realiza con un número menor de cantidades que en mecánica clásica, es decir, aquélla resulta menos detallada que la descripción clásica.
De aquí se sigue una consecuencia muy importante acerca del carácter de las predicciones que es posible hacer en mecánica cuántica. Mientras que la descripción clásica basta para predecir el movimiento de un sistema mecánico en el futuro de manera completamente exacta, la descripción menos detallada de la mecánica cuántica no puede bastar, evidentemente, para ello. Esto significa que si el electrón se encuentra en un estado descrito de la manera más completa posible en mecánica cuántica, su comportamiento en instantes ulteriores es, con todo, incierto por principio. Por ello la mecánica cuántica no puede hacer predicciones rigurosamente determinadas acerca del comportamiento futuro del electrón. Para un estado inicial dado de éste, una medición ulterior puede dar diferentes resultados. El problema de la mecánica cuántica consiste simplemente en determinar la probabilidad de obtener un cierto resultado en dicha medición. En algunos casos, claro está, la probabilidad de un determinado resultado de la medición puede ser igual a la unidad, es decir, la probabilidad puede transformarse en certeza, con lo cual el resultado de la medición en cuestión sólo puede ser uno.
Todos los procesos de medición en mecánica cuántica se pueden clasificar en dos categorías. A una de ellas, que incluye la mayor parte de las mediciones, pertenecen las mediciones que, cualquiera que sea el estado del sistema, no conducen con certeza a un resultado único. A la otra categoría, en cambio, pertenecen las mediciones tales que para cada uno de sus resultados existe un estado en el que la medición conduce con certeza al resultado en cuestión. Precisamente estas últimas mediciones, que se pueden calificar de predecibles, representan en mecánica cuántica un papel fundamental. Las características cuantitativas de un estado definidas por tales mediciones son lo que en mecánica cuántica se llaman magnitudes físicas. Si en un cierto estado la medida da con certeza un resultado único, diremos que en este estado la correspondiente magnitud física posee un determinado valor.
En lo que sigue entenderemos siempre la expresión «magnitud física» precisamente en este sentido. […] no todo sistema de magnitudes físicas, ni mucho menos, pueden ser medidas en mecánica cuántica simultáneamente, es decir, no todas pueden tener simultáneamente valores determinados (se presentó ya un ejemplo: las velocidades y coordenadas de un electrón). Representan un importante papel en mecánica cuántica los conjuntos de magnitudes físicas que gozan de la siguiente propiedad: las cantidades de uno de ellos se pueden medir simultáneamente, y si éstas poseen simultáneamente determinados valores, ninguna otra cantidad física (que no sea función de ellas) puede poseer en dicho estado un valor determinado. De tales sistemas de magnitudes físicas diremos que constituyen sistemas completos; en ciertos casos particulares, un sistema completo puede quedar reducido a una sola magnitud.
Toda descripción del estado de un electrón es consecuencia del resultado de una cierta medida. Veamos ahora qué caracteriza la descripción completa de un estado en mecánica cuántica. Los estados completamente definidos surgen como resultado de la medición simultánea de un sistema completo de magnitudes físicas. A partir de los resultados de una tal medición es posible, en particular, determinar la probabilidad de los resultados de cualquier medición ulterior con total independencia de lo que ocurrió al electrón antes de la primera medida. En mecánica cuántica hay que considerar prácticamente tan sólo estados descritos de manera completa, y en lo que sigue entenderemos siempre por estados de un sistema cuántico precisamente dichos estados.