Anells de polinomis en diverses variables

Primavera 2023

Laboratori 1 (plot, factor, solve)

Usarem “Plot”  per dibuixar corbes :

Plot3D[ x* y^2,{x,-2,2},{y,-1,1},Axes->True,AxesLabel->{x,y,z}]

ParametricPlot3D[{t,t^2,t^3},{t, -1,1},Axes->True,AxesLabel->{x,y,z}]

ParametricPlot[{t^2,t^3},{t, -1,1},Axes->True,AxesLabel->{x,y}]

ParametricPlot3D[{x*y,x-y,x+y},{x,-2,2},{y,-2,2}]

Usarem el ContourPlot3D per dibuixar funcions implicites :

ContourPlot3D[x^2+y^2-z^2==0,{x,-1,1},{y,-1,1},{z,-1,1}]

Ex 1 : Dibuxeu en el pla real els següents conjunts algebraics :
 a) V (x^2 + 4 y^2 + 2 x - 16 y + 1)
 b) V (x^2 - y^2)
  c) V (2 x + y - 1, 3 x - y + 2)

Ex 2 : Dibuixeu en l' espai real els següents conjunts algebraics :
 a) V (x^2 + 4 y^2 + z^2 - 1)
  b) V (x*z^2 - x*y)
  c) V (x^4 - z*x, x^3 - y*x)
  d) V (x^2 + y^2 + z^2 - 1, x^2 + y^2 + (z - 1)^2 - 1)

Podem factoritzar polinomis:

Factor[ x* y^3- x *z^2 +x* y* z]

FactorList[ x^2* y *t -y^2* x* z- x* y* z* t]

IrreduciblePolynomialQ[ x* y- 2]

IrreduciblePolynomialQ[ x* y- 2, Modulus-> 2]

Factor[ x* y- 2, Modulus-> 2]

PolynomialGCD [x *y*z^2,x^2 *y^2 *z,x^2* y* z^3]

Podem resoldre sistemes equacions :

S:={x^2 +y +z ==1,x+ y^2+ z- 1==0,x+ y *z^2- 1==0}

T:=Solve[ S,{x,y,z}]

T

eqns ={1==2 a y,y ==9+2 x}

Solve[eqns,{x,y}]

Ex3 : Executeu les següents comandes i esbrineu què fan:
  a) Eliminate[{a*x^2 + b*x*y + c*y^2 == 0, x + y == 1}, x]
  b) Reduce[x^2 < 1 && y - Sqrt[x] == 0, {x, y}]
  c) Roots[x^3 - x - 7 == 0, x]
  d) NSolve[-(1 + x) + 2 Sqrt[1 + x^2] - 3 (1 + x^3)^{1/3} == 0, x]
  e) Solve[x^2 +a*x+b==0, x, Reals]
  f) SolveAlways[(a-b)*x^2+( a^2- b+1)*x+a-c==0, x]

Eliminate[{a*x^2+b*x*y+c*y^2==0,x+y==1},x]

Reduce[x^2<1&&y-Sqrt[x]==0,{x,y}]

Roots[x^3-x-7==0,x]

NSolve[-(1+x)+2 Sqrt[1+x^2]-3 (1+x^3)^{1/3}==0,x]

Solve[x^2+a*x+b==0,x,Reals]

SolveAlways[(a-b)*x^2+(a^2-b+1)*x+a-c==0,x]

Treball : 
 a) Veriqueu amb mitjançant un “Plot” que les corbes amb equació  polar r = Sin[2 t] i
  V ((x^2 + y^2)^3 - 4 x^2*y^2) són la mateixa.
  b) Proveu que a) és cert .