Current research

La disciplina objecte principal de la recerca del grup és la teoria de nombres o aritmètica. Es tracta d'una de les disciplines més antigues en matemàtiques, que és ubicada per la legislació espanyola en l'àrea de coneixement Àlgebra.

Atesa la seva temàtica, la recerca actual del grup se subdivideix en quatre línies.

1. Inverse and embedding problems in Galois Theory
2. Galois representations
3. Shimura curves
4. Hilbert varieties

Inverse and embedding problems in Galois Theory

Comprèn l'estudi del problema d'immersió de la teoria de Galois clàssica, del problema invers de la teoria de Galois diferencial i dels fonaments de la teoria de Galois diferencial.

Els principals resultats obtinguts fins ara en aquesta línia són: obtencions de famílies completes d'extensions galoisianes amb grup de Galois donat en característica zero i en característica positiva; realització explícita de grups finits com a grups de Galois diferencials i resolució explícita de problemes d'immersió galoisiana en el cas clàssic.

Projectes vinculats: SAB2000-0063; BFM2003-01898; BFM2000-0794-C02-01; GTEM (Commissió Europea, contracte HPRN-CT-2000-00114); MODNET(Commissió Europea, contracte MRTN-CT-2004-512234).

En el període 2001-2005, els membres del grup han dirigit en aquesta línia 1 postgrau.

Els membres del grup adscrits actualment en aquesta línia són T. Crespo, Z. Hajto i F. Heiderich.

Galois representations

Comprèn l'estudi de les imatges de famílies compatibles de representacions p-àdiques i mòdul p, de la seva modularitat i contribucions al problema invers de la teoria de Galois.

Els principals resultats obtinguts fins ara en aquesta línia són: la determinació d'imatges genèriques de famílies compatibles de representacions de dimensió tres geomètriques i modulars; la realització com a grups de Galois sobre Q de famílies de grups simplèctics de dimensió quatre sobre cossos finits; la realització dels grups simples An, M11, M12 i les seves extensions centrals com a grups de Galois d'un cos de nombres moderadament ramificat sobre Q; la prova de la modularitat de superfícies abelianes amb multiplicació quaterniònica i de varietats de Calabi-Yau rígides i alguns casos de la conjectura de Fontaine-Mazur.

Projectes vinculats: BFM2003-01898; BFM2000-0794-C02; BFM2000-0794-C02-01; ERBFMBICT983234; HPRN-CT-2000-00114.

En el període 2001-2005, els membres del grup han dirigit en aquesta línia 2 tesis doctorals.

Els membres del grup adscrits actualment en aquesta línia són: S. Arias de Reyna, L. Dieulefait i N. Vila.

Shimura Curves

Comprèn l'estudi de les corbes de Shimura i de la seva interpretació modular.

Els principals resultats obtinguts fins ara en aquesta línia són: la uniformització de totes les corbes modulars associades a grups fuchsians triangulars aritmètics i amb puntes, i la determinació en tots ells dels punts de multiplicació complexa; l'obtenció d'equacions per a corbes de gènere 2 la jacobiana de les quals es correspon amb punts de multiplicació complexa especials de corbes de Shimura; l'obtenció d'equacions de Weierstrass per a tots els quocients biel·líptics de corbes de Shimura; l'obtenció de varietats abelianes de dimensió qualsevol amb un nombre arbitràriament gran de polaritzacions principals; la caracterització de propietats diofantines de varietats abelianes amb multiplicació quaterniònica.

Projectes vinculats: BMF2003-01898; IEC2005; BMF2000-0627.

En el període 2001-2005, els membres del grup han dirigit en aquesta línia 1 tesi doctoral i 3 treballs acadèmicament dirigits.

Els membres del grup adscrits actualment en aquesta línia són: M. Alsina, P. Bayer i A. Travesa.

Hilbert varieties

Comprèn l'estudi de propietats aritmètiques de varietats modulars de Hilbert concretes, així com dels corresponents espais de formes modulars de Hilbert.

Els principals resultats obtinguts fins ara en aquesta línia són l'haver explicitat relacions que hi ha entre les traces dels operadors de Hecke actuant sobre certs espais de formes parabòliques associats a grups fuchsians de primera espècie. També relacions, per vies alternatives a la correspondència de Jacquet-Langlands, entre traces d'operadors de Hecke en el cas d'espais de formes parabòliques associades al grup modular de Hilbert i alguns dels seus subgrups i, més generalment, associats a àlgebres de quaternions indefinides sobre cossos de nombres totalment reals diferents del cos dels nombres racionals.

Projectes vinculats: BFM2003-01898; BFM2000-0627; Xarxa Aritmètica dels Pirineus.

En el període 2001-2005, els membres del grup han dirigit en aquesta línia 1 postgrau.