Polsar la imatge per executar el programa amb Java WebStart
Polsar aquí per executar el programa en el navegador

Làmina de cares planoparal·leles

L’aplicació permet estudiar els factors que intervenen en un experiment amb una làmina de cares planoparal·leles. L'experiment té dues possibles configuracions. En la primera configuració la llum d’una determinada longitud d’ona λ incideix sobre una mostra consistent en un substrat amb un recobriment de capa prima a la seva cara superior. En una segona configuració s'estudien les interferències per múltiples reflexions d'una làmina de cares paral·leles envoltada d'aire. La miniaplicació permet veure la influència del gruix, l’índex de refracció i del coeficient d’extinció de la làmina sobre les propietats de reflexió i transmissió de la llum de la mostra. A més, permet visualitzar aquesta influència en funció de la longitud d’ona a través d’una representació gràfica (espectre).

Finalment, la miniaplicació té la possibilitat de fer un experiment virtual on, a partir d’un espectre mesurat, es dedueixen els valors de l’índex de refracció i del gruix de la làmina.

L’element més important que permet calcular la miniaplicació és l’espectre de reflectància (R(λ)) i de transmitància (T(λ)) de la mostra. Per calcular els valors de R i T a partir de l'índex de refracció n, i del coeficient d'extinció k i el gruix de la làmina d cal aplicar el model de la figura 1.

Figura 1. Esquema de les múltiples reflexions a dintre de la làmina de cares planoparal·leles

Sigui una ona plana que incideix des del medi (d'índex de refracció 1) sobre la làmina amb un angle ε i que té una amplitud E₀. L’amplitud de l’ona transmesa a l’interior de la làmina serà E₀t₁ on t₁ pot ser el coeficient de Fresnel corresponent a una de les dues possibles polaritzacions 's' o 'p'. A dintre de la làmina aquesta ona plana es propaga en una direcció que forma un angle ε' respecte a la perpendicular i hi experimenta múltiples reflexions. L’amplitud de l’ona després de la primera reflexió a la interfície làmina-substrat és E₀t₁r₂ on r₂ és el coeficient de Fresnel de reflexió de la làmina cap al substrat. Per altra banda, l’amplitud de la primera ona transmesa és E₀t₁t₂ on t₂ és el coeficient de Fresnel de transmissió de la làmina cap al substrat. Després de la segona reflexió a l’interior de la làmina, l’amplitud de l’ona és E₀t₁r₂r₁ on r₁ és el coeficient de Fresnel de reflexió des de la làmina cap al medi. Aquesta llum es transmet al substrat amb una amplitud proporcional a E₀t₁r₂r₁t₂. Així, la m-èsima ona transmesa té una amplitud de:

Figura 2. Càlcul de la diferència de camí òptic entre dues ones transmeses consecutives

El següent pas consisteix a estudiar la fase relativa de cadascuna de les ones transmeses. Per calcular la fase relativa cal prendre dos punts de referència en dues ones consecutives i que estiguin en un mateix pla perpendicular a la direcció de propagació de l’ona, tal com s’indica en la figura 2. Es pot demostrar que la diferència de camí òptic entre dues ones transmeses consecutives és:

La fase corresponent a aquest camí òptic és:

Així, l’amplitud complexa de la m-èsima ona transmesa es pot escriure com:

En l'expressió anterior s'ha separat el mòdul i la fase dels factors r₁ i r₂. Les fases arg(r₁) i arg(r₂) poden ser diferents de 0 en casos com quan l'índex del substrat és més gran que l'índex de la làmina (arg(r₂)=π) o quan l'índex de la làmina és complex (k≠0, arg(r₁)≠0 i arg(r₂)≠0).

L’amplitud total és el resultat de la suma de totes aquestes amplituds complexes per un nombre molt gran d’ones transmeses:

La intensitat de l’ona és proporcional al mòdul al quadrat de l’amplitud complexa:

on s’ha fet servir la relació cos(φ)=2cos²(φ/2)-1. Examinant l’expressió anterior es poden trobar les condicions que ha de complir la diferència de fase φ per tal que la llum transmesa sigui màxima o mínima. Per exemple, per a una làmina dielèctrica (amb k=0) aquestes condicions es resumeixen en la taula següent:

Pel que fa a la reflectància, el comportament és l’oposat al de la transmitància: allí on una és mínima l’altra és màxima i viceversa. En el cas que la làmina no sigui dielèctrica (i per tant tingui un coeficient d'absorció no nul) les condicions de màxim o mínim d'interferència són més complexes perquè han de tenir en compte la fase δ.

La reflectància i transmitància final de la mostra depenen també de la reflectància i la transmitància de la segona cara del substrat. Com que aquestes no depenen de les característiques de la làmina, la segona cara del substrat no té efecte en la distribució dels màxims i dels mínims de R i T.

Finestra "Transmissió i reflexió"

Aquesta finestra presenta un esquema de la mostra amb el substrat (en blau) i la làmina dipositada a la cara superior del substrat (en groc). La llum incident està representada per uns feixos verds, mentre que la llum reflectida està representada per un conjunt de feixos magenta i la llum transmesa per uns feixos cian. L’esquema de la mostra inclou també els valors de transmitància (T) i reflectància (R). Cal fer notar que se suposa que la llum és monocromàtica i amb polarització natural (superposició uniforme de tots els estats de polarització possibles).

A la finestra "Transmissió i reflexió" es pot canviar el gruix de la làmina (d), la longitud d’ona de la llum incident (λ), i l’angle d’incidència de la llum (θ). A més, es poden canviar els valors de l’índex de refracció (n) i del coeficient d’extinció (k) mitjançant els botons "Canviar n" i "Canviar k". Aquests botons obren unes finestres amb el nom "Paràmetres de l’índex de refracció" i "Paràmetres del coeficient d’extinció" respectivament. Aquests paràmetres corresponen a un model matemàtic de l’índex de refracció i del coeficient d’extinció amb l’expressió:

Aquestes finestres permeten canviar els valors de A, B, C, k₀ i D i a més mostren una representació gràfica del valor d’aquests índexs en funció de la longitud d’ona.

Finestra "Diferència de fase"

Aquesta finestra mostra un esquema del recorregut que efectua una ona dintre de la làmina de cares planoparal·leles. Per la longitud d’ona seleccionada mostra l’índex de refracció i el coeficient d’extinció de la làmina (n_l i k_l al diagrama), així com l’índex de refracció del substrat. La finestra permet variar el gruix de la làmina d, la longitud d’ona λ, i l’angle d’incidència ε. A més, també es poden canviar els valors de l’índex de refracció i del coeficient d’extinció amb els botons "Canviar n" i "Canviar k".

Finestra "Espectre"

Aquesta finestra presenta els espectres de reflectància i transmitància de la mostra. Cal tenir en compte que aquests valors són el resultat de la transmissió i la reflexió a la làmina de cares planoparal·leles i a la cara posterior del substrat. Situant el cursor a sobre del gràfic es poden llegir, a la part inferior de la finestra, els valors corresponents a la seva posició respecte dels eixos de coordenades . El botó "Configurar gràfica" permet definir la manera com es presenta el gràfic. Es poden definir els valors inicial i final de la longitud d’ona que es representa, i el valor mínim i màxim de reflectància i transmitància. Aquests dos darrers valors es poden assignar automàticament amb els botons de la part inferior de la finestra. Així, el botó "Rang de R/T 0-1" assigna el valor 0 al "Valor de T i R inicial" i 1 al "Valor de T i R final". El botó "Rang automàtic" assigna automàticament el mínim rang de R/T que permet representar simultàniament els dos espectres. Els botons "Rang automàtic R" i "Rang automàtic T" assignen automàticament el rang que permet visualitzar competament l'espectre de R o de T respectivament.

Finestra "Màxims i mínims de T"

Per l’opció "Variable: longitud d’ona" aquesta finestra mostra una llista dels màxims i els mínims de T que es poden veure a la finestra "Espectre". Aquesta llista de màxims i mínims es calcula pels valors de n(λ) i k(λ), gruix de la làmina i angle d’incidència escollits. Per l’opció "Variable: angle" aquesta finestra mostra una llista de màxims i mínims de la transmitància en funció de l’angle per la longitud d’ona seleccionada a la finestra de l’esquerra.

L’experimentació virtual: el botó "Experimenta"

El botó "Experimenta" simula una situació experimental en què es té una mostra composta d’un substrat recobert d’una làmina prima de cares planoparal·leles transparent (k=0) de gruix i índex desconeguts. A la finestra "Espectre" es presenten dos espectres (en blau i en groc, R exp i T exp) que corresponen a la mostra desconeguda i dos espectres corresponents al model amb els valors escollits de les variables del programa. L’experiment virtual consisteix a trobar el valors del gruix d i de les variables A i B que caracteritzen el comportament espectral de l’índex de refracció. Per canviar els valors de A i B cal fer-ho amb el botó "Canviar n" de la meitat esquerra de la finestra del programa. El procediment per trobar aquestes variables és el de prova i error: cal anar provant de variar cada valor i veure si els espectres calculats s’ajusten millor o pitjor i decidir si s’accepta o no el canvi.