DE LA PROYECCIÓN DE LA ESFERA EN PLANO
 
 
Es muy útil saber representar en plano los círculos que se consideran en la esfera, o porque no se tienen a mano las esferas artificiales, o para resolver los triángulos esféricos orgánicamente. Esta representación se hace de diversos modos; el más principal es cuando la esfera se considera cortada por el plano de un círculo máximo, el cual se dice de proyección y, todos los otros círculos se representan por las perpendiculares que de los infinitos puntos de las circunferencias elevadas caen sobre el plano de la proyección. Y este modo de representar se dice la proyección ortográfica de la esfera de que hablaremos.

Otro modo hay de representar la esfera en plano constituyendo la vista en un punto de la misma esfera y que las visuales tiradas por las circunferencias de los otros círculos determinan su lugar en el plano de la proyección; en virtud de esta proyección se forman el astrolabio universal y el particular. Para el universal sirve de plano de proyección el meridiano y el coluro de los solsticios, representándose por líneas rectas que son sus diámetros; la equinoccial, la eclíptica, el horizonte y el coluro de los equinoccios y todos los demás se representan por arcos de círculo, constituyéndose la vista en el punto del verdadero levante y poniente. El particular hace su proyección en el plano del ecuador en alguno de sus paralelos y el punto de la vista se considera en uno de los polos del mundo.

En virtud de la proyección ortográfica se delinea el analema y consiste en un círculo de latón que representa el meridiano y coluro de los solsticios, y se distinguen del astrolabio universal en que la vista se constituye en una infinita distancia por lo cual los rayos visuales son entre sí paralelos y perpendiculares al plano de la proyección, para cuya inteligencia sirven las proposiciones siguientes:
 
 

2º. Si el arco elevado EB tiene el extremo B distante 90º del plano, su proyección GX es el seno recto del mismo arco EB, porque GX = EN, seno de dicho arco.

3º. Si los extremos del arco EBF están igualmente elevados o equidistantes del punto B, su proyección GH = EF es la cuerda de dicho arco.

4º. Si los extremos del arco KE están desigualmente elevados su proyección GL es la suma de los senos rectos de los arcos EB, BK, porque GX es el seno del arco BE y XL seno del arco BK, pero la proyección del arco FK que está en un mismo cuadrante será la diferencia de XH y de XL, seno de BK.

5º. El cuadrante BC se representa por el radio XC.

6º. Cualquier círculo menor perpendicular al plano de la proyección se representa por su diámetro, como si el plano de la proyección es el círculo ABCS y el menor EZF se supone perpendicular al plano, se representará por su diámetro EF, y en dicho círculo menor se entenderá lo mismo que se dijo de los arcos del círculo máximo en los corolarios antecedentes.
 
 

2º. Si dada la elipse ALC (Fig. 28ª) y en ella el arco LD, queriendo saber el arco circular que representa, se describe el semicírculo ACB y tirando por los puntos D y L las FH, EB, perpendiculares al diámetro, se tendrá el arco HB representado por DL, así mismo DLN será proyección de HBM; DLS lo será de HBP y NS lo será de MP y el cuadrante elíptico LC lo será de BC.

3º. Si de cualesquiera puntos D, N, S, caen perpendiculares sobre el semieje menor LE, se tendrán los senos rectos de los arcos que representan, esto es DZ = FE = HX es seno de HB; VS = ER es seno de BP, FR = DZ + VS es suma de los senos de los arcos HB, BP; CR = KS es la diferencia entre VS y XM senos de los arcos BM, BP; finalmente RC es seno verso de PC representado por SC.

4º. Si por el punto E y el punto D se tira la recta ET larga a discreción y sobre el semieje EL, se levanta la perpendicular LT hasta cortar a la DE prolongada, será NT la tangente del arco elíptico LD, y del circular que representa HB, porque tirada por H la secante EQ y la tangente BQ en el mismo plano del círculo, sí éste se eleva moviéndose sobre el eje EC, cuando el arco circular HB haga la proyección DL, la tangente QB hará la proyección FL igual y paralela a QB por ser QB paralela al eje inmoble AC; lo mismo se entiende de cualquier otro arco elíptico cortado desde L, de forma que el seno recto y la tangente de dicho arco nunca se disminuye, pero la secante EQ se disminuye hasta que en la situación perpendicular se representa por EY igual a la tangente y el seno segundo FH se disminuye hasta que en la situación perpendicular se representa todo por el punto F.

Si las rectas MR,NS, fueren iguales siendo también paralelas, serán las MN, RS, paralelas e iguales y por consiguiente la RS no cortaría a la GH prolongada, en este caso el eje mayor AB sería también paralelo a GH.
 

Notas

(1) Estos segmentos aparecen en el original con una raya superior encima del segmento descrito, pero debido a la imposibilidad de tipografiarlos exactamente, se ha recurrido a subrayarlos en su parte inferior.

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